互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れません．

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．

　４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならないことも簡単に示すことができます．

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

　ｐを素数として，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）またはｐ＝２

であることは有名です．

　それに較べてあまり知られていないのですが，ｐ＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ３）またはｐ＝３

が成り立つことです．

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　ヤコビ和を使うと（←）が簡単に証明できます．

（証明）ｐ＝２（ｍｏｄ３）であれば，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を割った余りは２になり得ないので解なし．ｐ＝１（ｍｏｄ３）であれば，

　　Ｊ(χ)＝ｘ＋ｙω，Ｊ(χ~)＝ｘ＋ｙω~

と表される．

　　ｐ＝｜Ｊ(χ)｜^2＝Ｊ(χ)Ｊ(χ~)

　　　＝（ｘ＋ｙω）（ｘ＋ｙω~）＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2

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