［Ｑ］ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数とする．ａ，ｂ，ｃは等差数列になっている．１辺の長さｄの正三角形ＡＢＣがある．その中に１点Ｐをとるのではなく辺ＢＣ上に点Ｐをとったら，３頂点からそれぞれＡＰ＝ａ，ＢＰ＝ｂ，ＣＰ＝ｃは整数距離にあった．ａ，ｂ，ｃ，ｄを求めよ．

　この問題の解き方はいくつかある．代数的な解法では，・・・

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　ａ，ｂ，ｃは等差数列になっているから

　　ａ＝ｂ−ｅ，ｂ，ｃ＝ｂ＋ｅ

　　ａ^2＝（ｂ−ｅ）^2，ａ^4＝（ｂ−ｅ）^4

　　ｃ^2＝（ｂ＋ｅ）^2，ｃ^4＝（ｂ＋ｅ）^4

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝３ｂ^2＋２ｅ^2

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4

　　３（３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4＋ｄ^4）＝（３ｂ^2＋２ｅ^2＋ｄ^2）^2＝ｄ^4＋２（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2

　　ｄ^4−（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^4＝０

　　Ｄ＝（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2−４（１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^4）＝９ｂ^4−３６ｂ^2ｅ^2＝９ｂ^2（ｂ^2−４ｅ^2）

　　ａ＋ｂ＝２ｂ−ｅ＝ｄ

に代入すると

　　ｄ^4−（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^4＝０

　　（４ｂ^2−４ｂｅ＋ｅ^2）（ｂ^2−４ｂｅ−ｅ^2）＋１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^4＝０

　　４ｂ^4−２０ｂ^3ｅ＋２５ｂ^2ｅ^2＝０

　　４ｂ^2−２０ｂｅ＋２５ｅ^2＝０

　　（２ｂ−５ｅ）^2＝０，２ｂ＝５ｅ，ｄ＝４ｅ

　　ｂ＝５，ｅ＝２，ｄ＝８とすれば，→ａ＝３，ｂ＝５，ｃ＝７

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