問題は，等差数列｛ｂ−２ｅ，ｂ−ｅ，ｂ，ｂ＋ｅ，ｂ＋２ｅ｝において，

　　ｄ^2＝｛（３ｂ^2＋２ｅ^2）±３ｂｆ｝／２

　　ｂ^2−４ｅ^2＝ｆ^2＝（ｂ−２ｅ）（ｂ＋２ｅ）

において，ｄが整数となるための条件を求めることに帰着される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　（等差数列でなく），一般化されたフィボナッチ数列において，任意の連続する４項を

　　ａ，ｂ，ｃ，ｄ

とすると，

　　（ａ・ｄ）^2＋（２ｂ・ｃ）^2＝（ｂ^2＋ｃ^2）^2

が成り立つ．

［証］

　　（ａ・ｄ）^2＝（ｂ^2−ｃ^2）^2　→　ａ・ｄ＝ｃ^2−ｂ^2

が成り立つことが証明されればよい．

　ｃ＝ａ＋ｂ，ｄ＝ｂ＋ｃより，

　　ａ・ｄ＝ａ（ｂ＋ｃ）＝ａ（ａ＋２ｂ）

　　ｃ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）^2−ｂ^2＝ａ^2＋２ａｂ＝ａ（ａ＋２ｂ）

　この関係式はすべてのピタゴラスの三つ組みを生み出すわけではないが，無限個のピタゴラスの三つ組みを生み出してくれる．たとえば，

　　ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝２，ｄ＝３→３^2＋４^2＝５^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　なお，

　ｃ＝ａ＋ｂ，ｄ＝ｂ＋ｃ＝ａ＋２ｂ，

　ｂ^2＝ａ・ｃ＋１，ｃ^2＝ｂ・ｄ−１

または，ｂ^2＝ａ・ｃ−１，ｃ^2＝ｂ・ｄ＋１より

　ｂ^2＋ｃ^2＝ａｃ＋ｂｄ

　　（ａｄ）^2＋（２ｂｃ）^2＝（ａｃ）^2＋２ａｂｃｄ＋（ｂｄ）^2

　ｃ＝ａ＋ｂ，ｄ＝ａ＋２ｂを代入すると

（ａｄ）^2＝ａ^2（ａ＋２ｂ）^2

（２ｂｃ）^2＝４ｂ^2（ａ＋ｂ）^2

（ａｃ）^2＝ａ^2（ａ＋ｂ）^2

２ａｂｃｄ＝２ａｂ（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）

（ｂｄ）^2＝ｂ^2（ａ＋２ｂ）^2

（ａｄ）^2＋（２ｂｃ）^2＝ａ^4＋４ａ^3ｂ＋８ａ^2ｂ^2＋８ａｂ^3＋４ｂ^4

（ａｃ）^2＋２ａｂｃｄ＋（ｂｄ）^2＝ａ^4＋４ａ^3ｂ＋８ａ^2ｂ^2＋８ａｂ^3＋４ｂ^4

となって，恒等式が得られる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝