（その８）ではうまくいかなかっやが，

　２ｅ＝１６，ｂ＝６５，ｆ＝６３

→ａ＝５７，ｂ＝６５，ｃ＝７１

とすると，

　Ｄ^1/2＝３ｂｆ＝３・６５・６３＝１２２８５

　ｄ＝１１２

となって，１辺の長さ１１２の正三角形が３つの整数三角形（５７，６５，１１２），（５７，７３，１１２），（６５，７３，１１２）に分解されたことになる．

　ここで，ｂ＝６５について考えてみたい．

　　６５^2＝６３^2＋１６^2＝５６^2＋３３^2

６５は２つのピラゴラス三角形の斜辺となる．すなわち，２つの平方数の和として２通りに表される．

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　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．

　この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　また，この積は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることを示しています．

　たとえば，

　　５０＝５・１０

　　５＝１^2＋２^2，１０＝１^2＋３^2

より，

　　５０＝（１・１＋２・３）^2＋（１・３−２・１）^2＝７^2＋１^2

　　５０＝（１・１−２・３）^2＋（１・３＋２・１）^2＝５^2＋５^2

　　６５＝５・１３

　　５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

となります．

　　ａ＝ｂまたはｃ＝ｄのときは，積はたった１通りの方法で２つの平方数の和になります．

　　１０＝２・５

　　２＝１^2＋１^2，５＝１^2＋２^2

　　１０＝（１・１＋１・２）^2＋（１・２−１・１）^2＝３^2＋１^2

　　１０＝（１・１−１・２）^2＋（１・２＋１・１）^2＝１^2＋３^2

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