［Ｑ］ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数とする．１辺の長さｄの正三角形ＡＢＣがある．その中に１点Ｐをとるのではなく辺ＢＣ上に点Ｐをとったら，３頂点からそれぞれＡＰ＝ａ，ＢＰ＝ｂ，ＣＰ＝ｃは整数距離にあった．ａ，ｂ，ｃ，ｄを求めよ．

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　正三角形の高さを

　　ｈ＝ｄ√３／２

としてもよいが，ｈは整数にはならない．

　ｂ＋ｃ＝ｄ，ｂ＜ｃ＜ａ

これが等差数列であるならば，２ｃ＝ａ＋ｂ

　　ｃ＝（ａ＋ｄ）／３，ｂ＝（２ｄ−ａ）／３

　余弦定理より，

　　（ｄ^2−ａ^2−ｂ^2）／２ａｂ＝（ａ^2＋ｃ^2−ｄ^2）／２ａｃ

　　ｃ（ｄ^2−ａ^2−ｂ^2）＝ｂ（ａ^2＋ｃ^2−ｄ^2）

　　ｃ（ｄ^2−ａ^2−ｂ^2）＝ｂ（ａ^2＋ｃ^2−ｄ^2）

　　（ｃ＋ｂ）（ｄ^2−ａ^2）＝ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2

　　ｂｃ＝ｄ^2−ａ^2＝（ａ＋ｄ）（２ｄ−ａ）／９

　　９（ｄ^2−ａ^2）＝−ａ^2＋２ｄ^2＋ａｄ

　　７ｄ^2−ａｄ−８ａ^2＝０

　　（ａ，ｄ）＝（７，８）はこれを満たす．→（ｂ，ｃ）＝（３，５）

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