■整数三角形(その28)

[Q]a,b,c,dを整数とする.1辺の長さdの正三角形ABCがある.その中に1点Pをとるのではなく辺BC上に点Pをとったら,3頂点からそれぞれAP=a,BP=b,CP=cは整数距離にあった.a,b,c,dを求めよ.

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 正三角形の高さを

  h=d√3/2

としてもよいが,hは整数にはならない.

 b+c=d,b<c<a

これが等差数列であるならば,2c=a+b

  c=(a+d)/3,b=(2d−a)/3

 余弦定理より,

  (d^2−a^2−b^2)/2ab=(a^2+c^2−d^2)/2ac

  c(d^2−a^2−b^2)=b(a^2+c^2−d^2)

  c(d^2−a^2−b^2)=b(a^2+c^2−d^2)

  (c+b)(d^2−a^2)=b^2c+bc^2

  bc=d^2−a^2=(a+d)(2d−a)/9

  9(d^2−a^2)=−a^2+2d^2+ad

  7d^2−ad−8a^2=0

  (a,d)=(7,8)はこれを満たす.→(b,c)=(3,5)

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