ｎ^3＋（ｎ＋１）^3＝ｍ^2

すなわち，連続した立方数の和に等しい平方数は（ｎ，ｍ）＝（１，３）ただひとつである．

　それでは，連続した平方数の和に等しい平方数はどうだろうか？

　　ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝ｍ^2

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　　ａ＝２ｐｑ→２ｐｑ＋４ｑ^2

　　ｂ＝ｑ^2−ｐ^2→ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2

　　ｃ＝ｐ^2＋q^2→ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2

b-a=p^2+2pq-q^2=(p+q)^2-2q^2=1/-1のところがやや面倒だが・・・

p^2=(c-b)/2

q^2=(c+b)/2

2pq=a

２ｐｑ＋４ｑ^2=2c+2b+a

ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2=(c-b)/2+3(c+b)/2+a=2c+b+2a

ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2=(c-b)/2+5(b+c)/2+a=3c+2b+2a

b-a=1のとき(b=a+1)

２ｐｑ＋４ｑ^2=2c+2b+a=2c+3a+2

ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2=(c-b)/2+3(c+b)/2+a=2c+b+2a=2c+3a+1

ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2=(c-b)/2+5(b+c)/2+a=3c+2b+2a=3c+4a+2

b-a=-1のとき(a=b+1)

２ｐｑ＋４ｑ^2=2c+2b+a=2c+3b+1

ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2=(c-b)/2+3(c+b)/2+a=2c+b+2a=2c+3b+2

ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2=(c-b)/2+5(b+c)/2+a=3c+2b+2a=3c+4b+2

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　ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１が成立すれば，

　　（２ｍ＋３ｎ＋１）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋２）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋２）^2

も成立する．

N=２ｍ＋３ｎ＋１

N+1=２ｍ＋３ｎ＋２

M=３ｍ＋４ｎ＋２

b-a=1のとき(b=a+1)

a=n,b=n+1,c=m

b-a=-1のとき(a=b+1)

b=n,a=n+1,c=m

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（証）

左辺＝４ｍ^2＋９ｎ^2＋１＋１２ｍｎ＋４ｍ＋６ｎ＋（４ｍ^2＋９ｎ^2＋４＋１２ｍｎ＋８ｍ＋１２ｎ）

＝８ｍ^2＋１８ｎ^2＋５＋２４ｍｎ＋１２ｍ＋１８ｎ

右辺＝９ｍ^2＋１６ｎ^2＋４＋２４ｍｎ＋１２ｍ＋１６ｎ

左辺−右辺＝−ｍ^2＋２ｎ^2＋１＋２ｎ＝０

　したがって，（ｎ，ｍ）がひとつ得られれば，芋づる式に無数に解が得られることになる．

　　２０^2＋２１^2＝２９^2

　　１１９^2＋１２０^2＝１６９^2

　　６９６^2＋６９７^2＝９８５^2

　　４０５９^2＋４０６０^2＝５７４１^2

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