ここでは斜辺を除く２辺の長さの差が１であるピタゴラス三角形を求めてみましょう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ａ＝２ｐｑ，ｂ＝ｑ^2−ｐ^2，ｃ＝ｐ^2＋q^2，ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　ここで，｜ａ−ｂ｜＝１とします．このとき，ｐをｑ，ｑをｐ＋２ｑで置き換えて得られる三角形も斜辺を除く２辺の長さの差が１のピタゴラス三角形になっています．

すなわち、(p,q)はベル数になっている。

（証）条件より

　　ｑ^2−ｐ^2−２ｐｑ＝±１

　　ａ’＝２ｑ（ｐ＋２ｑ）＝２ｐｑ＋４ｑ^2・・・新しいa

　　ｂ’＝（ｐ＋２ｑ）^2−ｑ^2＝ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2・・・新しいb

　　ｃ’＝ｑ^2＋（ｐ＋２ｑ）^2＝ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2・・・新しいc

　　ａ’−ｂ’＝−２ｐｑ＋ｑ^2−ｐ^2＝±１

　　ａ’^2＋ｂ’^2＝（２ｐｑ＋４ｑ^2）^2＋（ｃ’−２ｑ^2）^2

＝４ｑ^2（ｐ＋２ｑ）^2＋ｃ’^2−４ｑ^2ｃ’＋４ｑ^4

＝４ｑ^2｛（ｐ＋２ｑ）^2＋ｑ^2−ｐ^2−４ｐｑ−５ｑ^2｝＋ｃ’^2

＝ｃ’^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（ｐ，ｑ）＝（１，２）→（２，５）→（５，１２）→（１２，２９）→（２９，７０）→（７０，１６９）→（１６９，４０８）→・・・

　ｑ／ｐ比は√２の最良近似になっている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ａ＝２ｐｑ→２ｐｑ＋４ｑ^2

　　ｂ＝ｑ^2−ｐ^2→ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2

　　ｃ＝ｐ^2＋q^2→ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝