［Ｑ］高さが１２，底辺でない２辺の長さが１３と１５の三角形がある．三角形の底辺の長さを求めよ．

　　［参］川勝健二・植松真人「楽しい数学」三樹書房

になかに登場する中学生の答えは

［Ａ］１２と１３と１５が並んでいて，足りないのは１４．

　この問題はヘロンの三角形の問題であるが，江戸時代の本にも登場するらしい．

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【２】連続数のヘロン三角形

　（１３，１４，１５）というヘロン三角形は，既約で，３辺の長さの公差が１の等差数列であって，元祖（３，４，５）についで興味深いものである．その次に大きいのが（５１，５２，５３）である．

　ａ＜ｂ＜ｃとしても一般性を失わない，

　　ａ＝ｂ−１，ｃ＝ｂ＋１

また，ｂを底辺としたときの高さをｈとすると，三角形の面積は

　　Ｓ＝ｂｈ／２，Ｓ^2＝ｂ^2ｈ^2／４

　ヘロンの公式より，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとすると，三角形の面積は

　　Ｓ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

　＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

　＝３ｂ^2（ｂ^2−４）／１６

　これより

　　４ｈ^2＝３（ｂ^2−４）

ここで，ｂ＝２ｍとおくと，

　　ｈ^2＝３（ｍ^2−１）

であるから，ペル方程式ｈ^2−３ｍ^2＝−３というペル方程式に帰着される．

　これを解くと

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（１３，１４，１５），（５１，５２，５３），（１９３，１９４，１９５），（７２３，７２４，７２５），（２７０１，２７０２，２７０３），・・・が得られる．

　また，ｂ，ｈ，ｍについては漸化式

　　ａn＝４ａn-1−ａn-2

ａ，ｃについては漸化式

　　ａn＝５ａn-1−５ａn-2＋ａn-3

Ｓについては漸化式

　　ａn＝１４ａn-1−ａn-2

が得られる．

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［Ａ］

　　４ｈ^2＝３（ｂ^2−４）

ｈ＝12→ｂ＝14

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［Ｑ］底辺の長さが５２，底辺でない２辺の長さが５１と５３の三角形がある．三角形の高さを求めよ．

　　４ｈ^2＝３（ｂ^2−４）

ｂ＝52→ｈ＝45

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