［Ｑ］互いに接する半径１／２，１／３，１／６の３つの円がある．こられに内側から接する第４の円，外側から接する第４の円の半径を求めよ．

［Ａ］半径１の円の中に半径１／２の円を２つ内接させる．円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は１／３で，２つ内接させることができる．さらに，円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は１／６で，４つ内接させることができる．

　デカルトの４円定理において，

　　ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝６

とおくと，

　　２（２^2＋３^2＋６^2＋ｄ^2）＝（２＋３＋６＋ｄ）^2

　　２（４９＋ｄ^2）＝（１１＋ｄ）^2

　　ｄ^2−２２ｄ＋２３＝０

　　（ｄ＋１）（ｄ−２３）＝０→ｄ＝−１，２３

　３円の隙間に内接させることのできる円の半径は１／２３である（ｄ＝−１の方は，３円に外接する円である）．

　　ａ＝−１，ｂ＝２，ｃ＝３

として計算すると，

　　２（（−１）^2＋２^2＋３^2＋ｄ^2）＝（−１＋２＋３＋ｄ）^2

　　２（１４＋ｄ^2）＝（４＋ｄ）^2

　　ｄ^2−８ｄ＋１２＝０

　　（ｄ−２）（ｄ−６）＝０→ｄ＝２，６

が得られる．こうして，すべての円の曲率は整数値となることが知られている．

また，互いに外接する半径１／２の２つの円と半径１／３の円の３つの円に接する円鎖を考えると，デカルトの４円定理において，

　　ａ＝２，ｂ＝２，ｃ＝３

とおくと，

　　２（２^2＋２^2＋３^2＋ｄ^2）＝（２＋２＋３＋ｄ）^2

　　２（１７＋ｄ^2）＝（７＋ｄ）^2

　　ｄ^2−１４ｄ−１５＝０

　　（ｄ＋１）（ｄ−１５）＝０→ｄ＝−１，１５

となって，３円の隙間に内接させることのできる円の半径は１／１５である（ｄ＝−１の方は，３円に外接する円である）．

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