［３］チェバの定理とメネラウスの定理

　２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．そして，・・・

『与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとる場合，３直線が１点で交わるための必要十分条件はλμν＝１（チェバの定理），３点が同一直線上にあるための必要十分条件はλμν＝−１（メネラウスの定理）である．』

　なお，メネラウスとチェバの生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．

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　√３／２（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

−√３／２（３ａ／４−３ｃ／４）

−Ｙ（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

＋Ｙ（３ａ／４−３ｃ／４）

＝

　√３／２（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

＋√３／２（３ａ／４−３ｃ／４）

＋Ｙ（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

＋Ｙ（３ａ／４−３ｃ／４）

の不変式部分

−√３／２（３ａ／４−３ｃ／４）−Ｙ（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）＝０

について，調べてみたい．

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Ｙ（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）＝−√３／２（３ａ／４−３ｃ／４）

Ｙ＝−√３／２（３ａ／４−３ｃ／４）／（ａｃ−ａ／４−ｃ／４−１／２）

Ｙ＝−３√３（ａ−ｃ）／（８ａｃ−２ａ−２ｃ−４）

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−（ｘ−１）^2（２ｘ＋１）＋３ｙ・ｙ（２ｘ＋１）

＝ｃｏｎｓｔ・２（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）（ｘ−１）／９√３

　１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６

＝４｛３ｙ^2−ｘ^2｝−１６ｘ−１６

ｃｏｎｓｔ・２（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）（ｘ−１）／９√３

＝８Ｋｘ｛３ｙ^2−ｘ^2｝／９√３−８Ｋ｛３ｙ^2−ｘ^2｝／９√３

−３２Ｋｘ^2／９√３

−（ｘ−１）^2（２ｘ＋１）＋３ｙ・ｙ（２ｘ＋１）

＝（２ｘ＋１）（３ｙ^2−ｘ^2＋２ｘ−１）

＝２ｘ（３ｙ^2−ｘ^2）＋（３ｙ^2−ｘ^2）＋４ｘ^2−１

より，

ｘ（３ｙ^2−ｘ^2），（３ｙ^2−ｘ^2），ｘ^2

を因子にもつことが確かめられた．すなわち，等チェバ線は３次曲線である．

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