［３］チェバの定理とメネラウスの定理

　２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．そして，・・・

『与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとる場合，３直線が１点で交わるための必要十分条件はλμν＝１（チェバの定理），３点が同一直線上にあるための必要十分条件はλμν＝−１（メネラウスの定理）である．』

　なお，メネラウスとチェバの生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．

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　チェバの定理は射影的な性質であるから，正三角形の場合で計算してみたい．半径１の単位円に内接する正三角形

　　Ａ（１，０）

　　Ｂ（−１／２，√３／２）

　　Ｃ（−１／２，−√３／２）

と正三角形の内部の点

　　Ｚ（ｘ，ｙ）

を考える．

　ＡＸとＢＣの交点Ｚ’は

　　（Ｙ−ｙ）＝（ｙ−０）／（ｘ−１）・（Ｘ−ｘ）

　　Ｘ＝−１／２，Ｙ＝ｙ／（ｘ−１）・（−１／２−ｘ）＋ｙ

　　Ｙ＝−３ｙ／２（ｘ−１）

ＢＺ’^2＝（√３／２−Ｙ）^2＝ｃ1

　　ＣＺ’^2＝（Ｙ＋√３／２）^2＝ｄ1

　ＢＸとＣＡの交点Ｚ’は

　　（Ｙ−ｙ）＝（ｙ−√３／２）／（ｘ＋１／２）・（Ｘ−ｘ）

Ｙ＝１／√３・Ｘ−１／√３

　　ｍ＝（ｙ−√３／２）／（ｘ＋１／２）

より

　　ｍ・（Ｘ−ｘ）＋ｙ＝１／√３・Ｘ−１／√３

ａ＝（ｍｘ−１／√３−ｙ）／（ｍ−１／√３）

ｂ＝１／√３・Ｘ−１／√３

　　ＣＺ’^2＝（ａ＋１／２）^2＋（ｂ＋√３／２）^2

　　ＡＺ’^2＝（ａ−１）^2＋ｂ^2

　ＣＸとＡＢの交点Ｚ’は

　　（Ｙ−ｙ）＝（ｙ＋√３／２）／（ｘ＋１／２）・（Ｘ−ｘ）

Ｙ＝−１／√３・Ｘ＋１／√３

　　ｎ＝（ｙ＋√３／２）／（ｘ＋１／２）

より

　　ｎ・（Ｘ−ｘ）＋ｙ＝−１／√３・Ｘ＋１／√３

ｃ＝（ｎｘ＋１／√３−ｙ）／（ｎ＋１／√３）

ｄ＝−１／√３・Ｘ＋１／√３

　　ＡＺ’^2＝（ｃ−１）^2＋ｄ^2＝

　　ＢＺ’^2＝（ｃ＋１／２）^2＋（ｄ−√３／２）^2

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　　Ｙ＝−３ｙ／２（ｘ−１）

ＢＺ’^2＝（Ｙ−√３／２）^2

　　ＣＺ’^2＝（Ｙ＋√３／２）^2

　　ｍ＝（２ｙ−√３）／（２ｘ＋１）

　　√３ｍ−１＝（２√３ｙ−３）／（２ｘ＋１）

　　√３ｍｘ−１−√３ｙ＝（−５ｘ−１−√３ｙ）／（２ｘ＋１）

　　ａ＝（−５ｘ−√３ｙ−１）／（２√３ｙ−２ｘ−４）

　　ｂ＝√３／３・（ａ−１）

　　ＣＺ’^2＝（ａ＋１／２）^2＋（ｂ＋√３／２）^2＝４／３・（ａ＋１／２）^2

　　ＡＺ’^2＝（ａ−１）^2＋１／３・（ａ−１）^2＝４／３・（ａ−１）^2

　　ｎ＝（２ｙ＋√３）／（２ｘ＋１）

　　√３ｎ＋１＝（２√３ｙ＋２ｘ＋４）／（２ｘ＋１）

　　√３ｎｘ＋１−√３ｙ＝（５ｘ＋１−√３ｙ）／（２ｘ＋１）

ｃ＝（５ｘ−√３ｙ＋１）／（２√３ｙ＋２ｘ＋４）

ｄ＝−√３／３・（ｃ−１）

　　ＡＺ’^2＝（ｃ−１）^2＋ｄ^2＝４／３・（ｃ−１）^2

　　ＢＺ’^2＝（ｃ＋１／２）^2＋（ｄ−√３／２）^2＝４／３・（ｃ＋１／２）^2

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　（√３／２−Ｙ）・２（ａ＋１／２）／√３・２（ｃ−１）／√３

＝（Ｙ＋√３／２）・２（ａ−１）／√３・２（ｃ＋１／２）／√３

　（√３／２−Ｙ）（ａ＋１／２）（ｃ−１）

＝（Ｙ＋√３／２）（ａ−１）（ｃ＋１／２）

　（√３／２−Ｙ）（ａｃ−ａ＋ｃ／２−１／２）

＝（Ｙ＋√３／２）（ａｃ＋ａ／２−ｃ−１／２）

　　Ｙ（２ａｃ−ａ／２−ｃ／２−１）＝√３／２・３／２・（ｃ−ａ）

　　Ｙ＝３√３（ｃ−ａ）／（８ａｃ−２ａ−２ｃ−４）

であることが証明できればよいことになる．

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ａ−ｃ＝｛（−√３ｙ−５ｘ−１）（２√３ｙ＋２ｘ＋４）−（−√３ｙ＋５ｘ＋１）（２√３ｙ−２ｘ−４）｝／（２√３ｙ−２ｘ−４）（２√３ｙ＋２ｘ＋４）

＝｛−２√３ｙ（２ｘ＋４）−４√３ｙ（５ｘ＋１）｝／｛（２√３ｙ）^2−（２ｘ＋４）^2｝

＝−１２√３ｙ（２ｘ＋１）／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

ａ＋ｃ＝｛（−√３ｙ−５ｘ−１）（２√３ｙ＋２ｘ＋４）＋（−√３ｙ＋５ｘ＋１）（２√３ｙ−２ｘ−４）｝／（２√３ｙ−２ｘ−４）（２√３ｙ＋２ｘ＋４）

＝｛−１２ｙ^2−２０ｘ^2−４４ｘ−８）｝／｛（２√３ｙ）^2−（２ｘ＋４）^2｝

（ａ＋ｃ）／２＝｛−６ｙ^2−１０ｘ^2−２２ｘ−４）｝｛（２√３ｘｙ−

ａｃ＝｛（−√３ｙ−５ｘ−１）（−√３ｙ＋５ｘ＋１）／（２√３ｙ−２ｘ−４）（２√３ｙ＋２ｘ＋４）

＝｛３ｙ^2−２５ｘ^2−１０ｘ−１｝／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

２ａｃ−１＝｛−６ｙ^2−４６ｘ^2−４ｘ＋１４｝／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

２ａｃ−１−（ａ＋ｃ）／２＝｛−３６ｘ^2＋１８ｘ＋１８｝／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

＝−１８（２ｘ^2−ｘ−１）／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）＝−１８（ｘ−１）（２ｘ＋１）／（１２ｙ^2−４ｘ^2−１６ｘ−１６）

　　Ｙ＝−３ｙ／２（ｘ−１）

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