【２】レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）

「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」

α≦βとすると，仮定からαは区間（１，２）にあることがわかりますが，たとえば，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2

のとき，

ａk＝［ｎα］＝１，３，４，６，８，９，１１，１２，１４，１６，１７，・・・

ｂk＝［ｎβ］＝２，５，７，１０，１３，１５，１８，・・・

このとき,２つの整数列A={[nα]},B={[nβ]}において，

[1]排他性： A∩B=｛｝

[2]相補性： A∪B={1,2,3,・・・}

すなわち、２つの数列には共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるというわけです．

α＝√２，β＝２＋√２のときは，

ａk＝［ｎα］＝１，２，４，５，７，８，９，１１，１２，１４，・・・

ｂk＝［ｎβ］＝３，６，１０，１３，・・・

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相補的・排他的数列となるのは，

［１］２系列

［２］１／α1＋１／α2＝１

［３］α1は無理数

の場合に限られるのである．

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