【３】ファレイ分数

位数ｎのファレイ分数とは、ｎ以下の分母をもつすべての既約分数を大きさが増大する順に配列したものである。

2つの連続するファレイ分数a/b＜c/dを考える。

b+d≧n+1

bc-ad=1

与えられたどんな実数xに対しても、ｎに属する

|x-a/b|≦1/b(n+1)

となる近似ファレイ分数が常に一つ存在する。

b＞n/2ならば、近似誤差は2/n^2を超えることはない。

位数ｎに属するファレイ分数a/bはy=0,y=x,y=nの三角形内の原点から見ることのできる格子点全体にちょうど一致する。

すなわち、格子点から弦店を見る時、その視線上にはほかのファレイ点がないことになる。

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【４】漸化式

位数ｎのファレイ分数x/yは、x0=1,x1=1,y0=0,y1=nとして、漸化式

xk+2=[(yk+n)/yk+1]xk+1-xk

yk+2=[(yk+n)/yk+1]yk+1-yxk

で生成される。

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【５】中間数

[a/b,e/f]の中間数はc/d=(a+e)/(b+f)である。分母の和が位数ｎを超えなければ、ファレイ数列の含まれる

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