【２】ファレイ数列とディオファントス近似

　任意の実数αは

　　α＝Ｐ／Ｑ＋θ／Ｑｎ

　　０≦Ｑ＜ｎ，（Ｐ，Ｑ）＝１，｜θ｜＝１

の形に表される．

（証）ファレイ数列の中から相隣る２項ａ／ｂ，ｃ／ｄをとって，

　　ａ／ｂ≦α＜ｃ／ｄ

となったとする．２つの場合，

　　ａ／ｂ≦α＜（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）

　　（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）≦α＜ｃ／ｄ

に分かれるから，以下の２つの不等式のいずれか一方が成り立つ．

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／ｂ（ｂ＋ｄ）

　　｜α−ｃ／ｄ｜≦１／ｄ（ｂ＋ｄ）

ｂ＋ｄ＞ｎであることを考えればＱＥＤ．

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　分母が高々ｄの有理数からなる位数ｄのファレイ数列の各項は１／ｄ^2≦ｙ＜１／（ｄ＋１）^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することにより，いくつかのディオファントス近似に関する定理は，（双曲）幾何学的に自明なものとなる．

　たとえば，任意の無理数αに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

を満たすものが無数に存在するという定理がそうである．直線ｘ＝αが連接する２つのフォードの円ｐ／ｑ，ｒ／ｓのどちらか一方に交わる．それがｐ／ｑであるとすると｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2が成り立たなければならないからである．

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