ｎ≧１とする．分母が正でかつτを越えないようなすべての既約分数を増大する順に並べたものを，位数ｎのファレイ数列と呼ぶ．今回のコラムでは幾ばくかの証明を添えておきたい．

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【１】ファレイ数列の生成

　ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものであるが，まず［０／１，１／１］からはじめ，（０＋１）／（１＋１）＝１／２をはじめの２つの分数の間に挿入する．→［０／１，１／１］

漸次，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入する操作を可能な限り続けることによって得られる．

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１］（４位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１］（６位のファレイ数列）

→［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］（７位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．

　位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．すなわち，交差積ｍ1ｎ2とｍ2ｎ1は連続する整数になる．

（証）［０／１，１／１］に対して，０・１−１・１＝−１．ａｄ−ｂｃ＝−が成り立っているような［ａ／ｂ，ｃ／ｄ］の間に，（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）を挿入すれば

　　ａ（ｂ＋ｄ）−ｂ（ａ＋ｃ）＝（ａ＋ｃ）ｄ−（ｂ＋ｄ）ｃ＝−１

　さらにｌ＜ｎでかつａ／ｂ＜ｋ／ｌ＜ｃ／ｄとなるようなｋ／ｌは存在しない．もし存在したとすれば

　　ｋ／ｌ−ａ／ｂ≧１／ｌｂ，ｃ／ｄ−ｋ／ｌ≧１／ｌｄ

　　ｃ／ｄ−ａ／ｂ≧（ｂ＋ｄ）／ｌｂｄ＞１／ｂｄ

となって矛盾を生ずる．

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