たとえば、１１０５は２つの２乗数で４通りに表せる最小の数である。

　　　１１０５＝４^2＋３３^2＝１２^2＋３１^2

　　　　　　　＝２４^2＋２３^2＝３２^2＋９^2

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　

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８５１５は４つの２乗数で少なくとも10通りに表せる数である。

68^2+29^2+41^2+37^2=8515

17^2+31^2+79^2+32^2=8515

59^2+28^2+23^2+61^2=8515

11^2+77^2+8^2+49^2=8515

68^2+17^2+59^2+11^2=8515

29^2+31^2+28^2+77^2=8515

41^2+79^2+23^2+8^2=8515

37^2+32^2+61^2+49^2=8515

68^2+31^2+23^2+49^2=8515

37^2+79^2+28^2+11^2=8515

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？

→このことを利用して4ｘ4の平方数魔方陣を作ることができる。

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【１】ラグランジュの定理

すべての自然数は高々4個の平方数の和で表される。

13=3^2+2^2=2^2+2^2+2^2+1^2

14=3^2+2^2+1^2

15=3^2+2^2+1^2+1^2

16=4^2=2^2+2^2+2^2+2^2

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1933=42^2+13^2=40^2+18^2+3^2

1934=43^2+9^2+2^2=42^2+13^2+1^2

1935=43^2+9^2+2^2+1^2

1935=43^2+7^2+6^2+1^2

1935=42^2+13^2+1^2+1^2

1935=41^2+15^2+5^2+2^2

1935=39^2+19^2+7^2+2^2

1935=38^2+21^2+7^2+1^2

1935=37^2+23^2+6^2+1^2

1935=35^2+26^2+5^2+3^2

1935=34^2+27^2+7^2+1^2

1935=33^2+29^2+2^2+1^2

1935=31^2+31^2+3^2+2^2

1936=44^2

1935は４つの２乗数で少なくとも11通りに表せる数であるが、魔方陣はできなそうである。

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1718=7^2+12^2+25^2+30^2

1718=40^2+9^2+6^2+1^2

ちょっと調べてみるとこのように1通りでなく見つかるが、4ｘ4の平方数魔方陣を作ることができるかどうか判別できる方法はないものだろうか？

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