方眼紙のｘ軸上とｙ軸上に２点Ａ，Ｂをとり，ＯＡ＋ＯＢ＝一定となるＡＢを結ぶと，この線分の包絡線は放物線になる．

　次の問題は，

［４］円内の定点Ａと円周上の動点Ｂを結ぶ線分の垂直二等分線族の包絡線

である．

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　定点Ａが円（半径ｒ）の中心ならば，包絡線は半径ｒ／２の円となるが，中心とは異なる場合，ＡＢの中点をＭ，垂直二等分線と半径ＯＢの交点をＰとする．

　そのとき，ＯＰ＋ＰＡ＝ＯＰ＋ＰＢ＝ＯＢ（一定），∠ＡＰＭ＝∠ＢＰＭである．これは点ＰがＯ，Ａを焦点とする楕円上にあり，ＰＭがその楕円に接することを意味する．すなわち，この楕円はＯＡの中点を中心とする長径ｒ／２，離心率ＯＡ／ｒの楕円である．

　計算で求めてみると，

　点Ａ（ａ，０），０＜ａ＜ｒ＝１，

　点Ｂ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

　垂直二等分線は

　　ｙ−（ｓｉｎθ）／２）＝（ａ−ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ・（ｘ−（ａ＋ｃｏｓθ）／２）

　　２（ａ−ｃｏｓθ）／（１−ａ^2）・ｘ＋２ｓｉｎθ／（１−ａ^2）・ｙ＝１

　　ｕ（ｓ）＝２（ａ−ｃｏｓθ）／（１−ａ^2），ｖ（ｓ）＝２ｓｉｎθ／（１−ａ^2）

　　ｕ’（ｓ）ｘ＋ｖ’（ｓ）ｙ＝０

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝０

連立させてｘ，ｙについて解くと

　　ｘ＝（１−ａ^2）ｃｏｓθ／２（１−ａｃｏｓθ）

　　ｙ＝（１−ａ^2）ｓｉｎθ／２（１−ａｃｏｓθ）

　　（ｘ−ａ／２）^2／（１／２）^2＋ｙ^2／（√（１−ａ^2）／２）^2　　（楕円）

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［５］円外の定点Ａと円周上の動点Ｂを結ぶ線分の垂直二等分線族の包絡線

　このときは，ＯＰとＰＡの差が一定である放物線になる．その漸近線はＡから円に引いた２本の接線である．

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［６］円周上の定点Ａと円周上の動点Ｂを結ぶ線分の垂直二等分線族の包絡線

　放物線になりそうですが，そうはなりません．ＸＡＢの垂直二等分はすべて円の中心Ｏを通ります．

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