【１】包絡線の求め方

　陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０上の点（ｘ，ｙ）で接線の方程式を求めるには，２変数関数の微分の知識が必要です．その場合，ｆ（ｘ，ｙ）＝０のｙをｘの関数（ｆ（ｘ，ｙ（ｘ））＝０）とみなして，両辺をｘで偏微分すれば２変数関数の合成微分の公式によって

　　∂ｆ／∂ｘｄｘ／ｄｘ＋∂ｆ／∂ｙｄｙ／ｄｘ＝０

すなわち，ｆx＋ｆyｄｙ／ｄｘ＝０より，

　　ｙ’＝ｄｙ／ｄｘ＝−ｆx／ｆy

が得られます．ｆx＋ｆyｙ’＝０の式をｘの関数とみて，さらに，この両辺をｘで微分すれば

ｆxx＋ｆxyｙ’＋（ｆyx＋ｆyyｙ’）ｙ’＋ｆyｙ”＝０

より

　　ｙ”＝ｄ^2ｙ／ｄｘ^2

　　　　＝−１／ｆy（ｆxx−２ｆxyｆx／ｆy＋ｆyyｆx^2／ｆy^2）

が得られます．決して，ｙ”＝−ｆxx／ｆyyなどというでたらめを書かないように！

　曲線族の各々の曲線すべてに接する曲線が包絡線です．曲線族が陰関数ｆ（ｘ，ｙ，ｔ）＝０で与えられている場合，パラメータｔが動くときの包絡線の方程式を求めるにはｆt＝０を解いてｔ＝ｇ（ｘ，ｙ）を消去したり，あるいはｘ，ｙをｔで表します．

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　考える直線族を

　　ｕ（ｓ）ｘ＋ｖ（ｓ）ｙ＝１

とした場合，その包絡線は

　　ｕ（ｓ＋ｈ）ｘ＋ｖ（ｓ＋ｈ）ｙ＝１

との交点を求め，ｈ→０としたときの交点の軌跡と考えられますから，

　　ｕ’（ｓ）ｘ＋ｖ’（ｓ）ｙ＝０

と

　　ｕ（ｓ）ｘ＋ｖ（ｓ）ｙ＝１

を連立させて計算できます．

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【２】包絡線の実例

［１］定点Ｆ（０，１）と定直線Ｌ（ｙ＝−１）上の動点Ａ（２ｓ，−１）を結ぶ線分の垂直二等分線族の包絡線

　中点の座標は（ｓ，０）であるから，垂直二等分線は

　　ｙ＝ｓ（ｘ−ｓ）

　　ｘ／ｓ−ｙ／ｓ^2＝１

　　ｕ（ｓ）＝１／ｓ，ｖ（ｓ）＝−１／ｓ^2

　　ｕ’（ｓ）ｘ＋ｖ’（ｓ）ｙ＝０→ｓｘ＝２ｙ

連立させてｘ，ｙについて解くと

　　ｘ＝２ｓ，ｙ＝ｓ^2→ｙ＝ｘ^2／４　　（放物線）

［２］長さ１の線分の一端Ａ（ｃｏｓθ，０）がｘ軸上に，他端（０，ｓｉｎθ，０）がｙ軸上にあるとき，この線分の包絡線

　答えはアステロイド（ａ＝１）

　　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝ａ^2/3

　　ｘ＝（ａｃｏｓθ）^3

　　ｙ＝（ａｓｉｎθ）^3

になることはよく知られている．

　線分ＡＢの方程式は

　　ｘ／ｃｏｓθｓ＋ｙ／ｓｉｎθ＝１

　　ｕ（ｓ）＝１／ｃｏｓθ，ｖ（ｓ）＝１／ｓｉｎθ

　　ｕ’（ｓ）ｘ＋ｖ’（ｓ）ｙ＝０

　　ｓｉｎθｘ／ｃｏｓ^2θ−ｃｏｓθｙ／ｓｉｎ^2θ＝０

連立させてｘ，ｙについて解くと

　　ｘ＝ｃｏｓ^3θ，ｙ＝ｓｉｎ^3θ

　　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝１　　（アステロイド）

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