素数ｐに対して

　　Ｍp＝２^p−１

をメルセンヌ数をいいます．

［１］ａ^n−１が素数ならば，ａ＝２かつｎも素数である．

（証）

　　ａ^n−１＝（ａ−１）（ａ^n-1＋ａ^n-2＋・・・＋ａ＋１）

したがって，ａ＝２でなければならない．また，ｎ＝ｋｌ（合成数）ならば

　　２^kl−１＝（２^k）^l−１＝（２^k−１）（（２^k）^l-1＋（２^k）^l-2＋・・・＋２^k＋１）

よりｎは素数でなければならない．

[２]古代ギリシャ人はｎ＝４，６，８，９，１０，１２のとき，２^n−１は素数ではなく，ｎ＝２，３，５，７のとき，２^n−１が素数になることを知っていました．

２^2−１＝３　　（素数）

２^3−１＝７　　（素数）

　　２^4−１＝１５＝3・5　　（非素数）4k+1=5

２^5−１＝３１　　（素数）

　　２^6−１＝６３　　（非素数）6k+1=7

２^7−１＝１２７　　（素数）

　　２^8−１＝２５５＝3・5・17　　（非素数）8k+1=17

　　２^9−１＝５１１＝７・７３　　（非素数）9k+1=73

　　２^10−１＝１０２３＝3・11・31　　（非素数）10k+1=11

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９　　（非素数）11k+1=23

　　２^12−１＝４０９５＝3＾2・５・７・13　　（非素数）12k+1＝１３

　　２^13−１＝８１９１　　（素数）

ｎ＝１１の場合，素数でないこと

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９

を発見したのは，ドイツの数学者レギウスでした（１５３６年）．

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（Ｑ）M2＝３を除けば，メルセンヌ数Mpの末位の数は１または７であることを証明せよ．

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