結局

p^m-1=ｐ1^α1・ｐ2^α2・・・ｐk^αk　　（ｐ1＜ｐ2＜・・・＜ｐk）

φ(p^m-1)=Πｐi^αi-1・（ｐi-1）

ｐi=Nm+1

となるものがあることを示せればよいのだが・・・。

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【１】メルセンヌ数の素因数

　フェルマーは非素数

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９

２^23−１＝８３８８６０７＝４７・１７８４８１

　　２^37−１＝１３７４３８９５３４７１＝２２３・６１６３１８７７

をもとにして、素因数の性質を発見しています．これらの素因数についてみると，

　　２３＝２・１１＋１

　　４７＝２・２３＋１

２２３＝６・３７＋１

という関係がみえてきます．

［１］ｐを奇素数，ｑを素数とする

　２^q＝１　　（ｍｏｄｐ）ならば，ｐ＝１　　（ｍｏｄｑ）である

すなわち，メルセンヌ数２^n−１が合成数であるならば，因数はあるｋに対してｋｎ＋１である．

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