m|φ(ｐ^m-1)は任意のｍについて成り立つトーシェント関数の（奇妙だが）重要な性質である。

原始多項式は　φ(ｐ^m-1)/m個存在し、それぞれから異なった最大長の数列が得られるという現象からその性質が正しいことが理解されるが・・・

φ(ｐ^m)＝ｐ^(m-1)(p-1)

φ(ｐ^m)＝ｐ^(m-1)(p-1)

ｐ^(m-1)=1 (modm)

φ(ｐ^m)＝(p-1) (modm)

ｐ^(m)=p (modm)

ｐ^(m)-1=p-1 (modm)

ｐ^(m)-1=(p-1)(p^m-1+p^m-2+・・・+p+1)より、

φ(ｐ^(m)-1)=φ(p-1)・φ(p^m-1+p^m-2+・・・+p+1)

φ(p^m-1+p^m-2+・・・+p+1)=0 (modm)

を証明すればよいことになる。

p^(m-1)=1 (modm)

p^(m-2)=1/p (modm)

p^(m-3)=1/p^2 (modm)

1=1/p^(m-1) (modm)

(p,m)=1とは限らない。

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数値実験をしてみたい。

p=2,m=4

p^m-1+p^m-2+・・・+p+1=8+4+2+1＝15　　

φ(15)=15(1-1/3)(1-1/5)=8=0 (modm)

p=2,m=5

p^m-1+p^m-2+・・・+p+1=16+8+4+2+1＝31　　

φ(31)=31(1-1/31)=0 (modm)

p=3,m=3

p^m-1+p^m-2+・・・+p+1=9+3+1＝13　　

φ(13)=13(1-1/13)=0 (modm)

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しかし、以下のような計算はNGである。

p=2,m=5

p^(m-1)=1 (modm)　　

p^(m-2)=3 (modm)

p^(m-3)=4 (modm)

p=2 (modm)

1=1 (modm)

(p^m-1+p^m-2+・・・+p+1)=1 (modm)

φ(1)=1

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結局

p^m-1=ｐ1^α1・ｐ2^α2・・・ｐk^αk　　（ｐ1＜ｐ2＜・・・＜ｐk）

φ(p^m-1)=Πｐi^αi-1・（ｐi-1）

ｐi=Nm+1

となるものがあることを示せればよいのだが・・・。

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