m|φ(ｐ^m-1)は任意のｍについて成り立つトーシェント関数の（奇妙だが）重要な性質である。

φ(ｐ^m)＝ｐ^(m-1)(p-1)

φ(ｐ^m)＝ｐ^(m-1)(p-1)

ｐ^(m-1)=1 (modm)

φ(ｐ^m)＝(p-1) (modm)

p^m-1=ｐ1^α1・ｐ2^α2・・・ｐk^αk　　（ｐ1＜ｐ2＜・・・＜ｐk）

φ(p^m-1)=Πｐi^αi-1・（ｐi-1）

φ(ｐ^m-1)＝?

φ(ｐ^m-1)＝? (modm)

(p,m)=1とは限らない。どうやって証明すればよいのだろうか？

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ｐ^(m)=p (modm)

ｐ^(m)-1=p-1 (modm)

ｐ^(m)-1=(p-1)(p^m-1+p^m-2+・・・+p+1)

p^(m-1)=1 (modm)

p^(m-2)=1/p (modm)

p^(m-3)=1/p^2 (modm)

1=1/p^(m-1) (modm)

また、

(p-1)^m=(p^m)+(-1)^m=p+(-1)^m (modm)

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オイラーの定理

m=10、φ(10)=4,r={1,3,7,9}

1^4=1,3^4=1, 7^4=1,9^4=1 (mod10)

b=7をかけると

rb=7,21,49,63=7,1,9,3 (mod10)

既約剰余系が乗法群をなす

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