【１】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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【２】既約多項式？、原始多項式？

GF(p^m)での乗算は次数mのGF(p)上で与えられた既約多項式π(x)を法とする多項式の乗算として定義される。

p=2,m=4の場合、そのような多項式が3つ存在する。

π(x)=1+x+x^4

π(x)=1+x^3+x^4

π(x)=1+x+x^2+x^3+x^4

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π(x)=1+x+x^4のとき,相反多項式は

π'(x)=x^degπ(x)・π(x^-1)＝x^4(1+1/x+1/x^4)=x4+x^3+1

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既約多項式のうち、根が原始元となる多項式が原始多項式である。

原始多項式はφ(p^m-1)/m個存在する。

p=2,m=4の場合、そのような多項式が2つ存在する。

π(x)=1+x+x^4

π(x)=1+x^3+x^4

π(x)=1+x+x^2+x^3+x^4は原始元をもたない

原始多項式でない既約多項式はn＜p^m-1を満たす1+x^nの因数である。

p=2,m=4の場合、1+x+x^2+x^3+x^4は1+x^15の因数であるばかりでなく

(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)=1+x^5の因数でもある。

逆に、原始多項式はn＜p^m-1を満たさない1+x^nの因数である。

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16個の真珠のネックレスをデザインするためには

1+x^15の次数4の原始因数が必要になり、そのような因数は

π(x)=1+x^3+x^4である

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