【１】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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F2から拡大体F4を作る。

可約多項式は

(x+0)(x+0)=x^2

(x+0)(x+1)=x^2+x、

(x+1)(x+1)=x^2+2x+1=x^2+1

に限られる。

ここに現れないのが既約多項式であるから

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2を選ぶ。

π(x)=1+x+x^2＝0の解をαとすると、4個の元からなる集合｛{0,1,α、1+α｝は有限体F4となる。

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F2から拡大体F8を作る。1次式はx+0,x+1なので

可約多項式は

(x+0)(x+0)=x^2

(x+0)(x+1)=x^2+x、

(x+1)(x+1)=x^2+2x+1=x^2+1

に限られる。

これに2次の既約多項式x^2+x+1を加え、3次の可約多項式を作る。1次式はx,x+1なので、

x(x^2)=x^3

x(x^2+1)=x^3+x

x(x^2+x)=x^3+x^2

x(x^2+x+1)=x^3+x^2+1

(x+1)(x^2)=x^3+x^2

(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1

(x+1)(x^2+x)=x^3+x

(x+1)(x^2+x+1)=x^3+1

ここに現れないのが既約多項式であるから

ｍ＝3の場合、π(x)=1+x+x^3を選ぶ。

π(x)=1+x+x^3＝0の解をαとすると、8個の元からなる集合｛{0,1=α^0、α^1、α^2、α^3、α^4、α^5、α^6、α^7｝は有限体F8となる。

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