■有限体とガロア体(その68)

 一般に,m=p^k+1のとき,オイラー関数を用いて

  φ(m^2−m+1)/6k通り

  φ(p^2k+p^k+1)/6k

  L=m^2−m+1

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 φ(p)=p−1

[1]m=3,L=7:{1,2,4}

  m=3=2^1+1→φ(7)/6=6/6=1通り

F2上の射影平面には7個の点と7本の直線があり、どの直線も3個の点を通り、どの点でも3本の直線が交わっている。

これに有限体F8を対応させる。

[2]m=4,L=13:{1,4,6,2},{1,7,2,3}

  m=4=3^1+1→φ(13)/6=12/6=2通り

F3上の射影平面には13個の点と13本の直線があり、どの直線も4個の点を通り、どの点でも4本の直線が交わっている。

これに有限体F27を対応させる。

[3]m=5,L=21:{1,3,10,2,5}

  φ(21)=21(1−1/3)(1−1/7)=12

  m=5=2^2+1→φ(21)/12=12/12=1通り

F4上の射影平面には21個の点と21本の直線があり、どの直線も5個の点を通り、どの点でも5本の直線が交わっている。

これに有限体F64を対応させる。

[4]m=6,L=31:{1,2,5,4,6,13}

  m=6=5^1+1→φ(31)/6=30/6=5通り

F5上の射影平面には31個の点と31本の直線があり、どの直線も6個の点を通り、どの点でも6本の直線が交わっている。

これに有限体F125を対応させる。

{1,14,4,2,3,7}

{1,3,2,7,8,10}

{1,5,12,4,7,2}

{1,3,6,2,5,14}

[5]m=7:存在しない

[6]m=10,L=91:

  φ(91)=91(1−1/7)(1−1/13)=72

  m=10=3^2+1→φ(91)/12=6

[7]m=18,L=307:

{1,2,24,15,4,16,12,25,38,50,14,17,5,8,10,11,49,6}

{1,17,31,8,13,51,34,19,6,16,20,4,43,7,23,3,2,9}

{1,12,9,5,38,16,28,3,32,37,2,18,58,8,7,4,6,23}など

φ(307)/6=306/6=51通り

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Fp上の射影平面にはp^2+p+1個の点とp^2+p+1本の直線があり、どの直線もp個の点を通り、どの点でもp本の直線が交わっている。

これに有限体Fp^3を対応させる。

m=p+1、p^2+p+1=m^2-m+1

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Fp^3を考える理由は何なのだろうか?

p^3>p^2+p+1 だから・・・?

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