マチアセビッチのこの大発見はヒルベルトの第10問題を解決する副産物として得られました。

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【３】マチアセビッチ

ところで，ロシア人のマチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムは存在しないことが証明されています．

Ｎを３つの立方数の和と差で表す問題の場合，Ｎ＝１，２に対しては，１パラメータ恒等式

（９ｎ^4）^3＋（１−９ｎ^3）^3＋（３ｎ−９ｎ^4）^3＝１

（１＋６ｎ^3）^3＋（１−６ｎ^3）^3＋（−６ｎ^2）^3＝２

が知られていますが，一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっていません．Ｎを３つの立方数の和と差で表す問題は難しく，たとえば，ｘ3 ＋ｙ3 ＋ｚ3 ＝３が

１^3＋１^3＋１^3＝３

　　４^3＋４^3＋（−５）^3＝３

すなわち（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかわかっていませんでした．ところが・・・

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