マチアセビッチのこの大発見はヒルベルトの第10問題を解決する副産物として得られました。

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【１】ディオファントス

整数解を要求する２変数１次方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，２変数２次方程式ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃは整数）などは，ギリシャのディオファントスにちなんで，ディオファントスの不定方程式と呼ばれます．たとえば，ｙ2 ＝ｘ3 −２の整数解について，ディオファントスは，ｙ＝ｔ＋１，ｘ＝ｔ−１とおき，ｙ2 ＝ｘ3 −２に代入するとｔ2 ＋２ｔ＋１＝ｔ3 −３ｔ2 ＋３ｔ−３．この式はｔ（ｔ2 ＋１）＝４（ｔ2 ＋１）と変形できるので，ｔ＝４すなわちｙ＝５，ｘ＝３が解であるとしています．

しかし，端的にいって，このような解き方にはアート（技巧）はあってもセオリー（一般的理論）がなく，勘や経験や個々の問題の性質に負っていて，決定打ではありません．

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