フェルマーの問題を拡張する方向としては，一つには指数を大きくすることが考えられます。

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3　→　ｘ^m＋ｙ^m＝ｚ^m

　驚かれるかもしれないが，フェルマーの最終定理を、素数を法とした数式

　　ｘ^m＋ｙ^m＝ｚ^m　　(mod ｐ）

を考えることによって証明するためのどんな試みも失敗に終わることが示されている。

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ディクソンは

　　ｘ^m＋ｙ^m＝ｚ^m　　(mod ｐ）

ｐを十分に大きい素数と仮定するならば、ｐと互いの素な3つの整数ｘ、ｙ、ｚに対して、この合同式が成り立つという結果を示した。

1916年にシューアは鳩ノ巣原理をを使って、ディクソンの結果に対するわかりやすい証明を与えた。

また、ラムゼイの定理「6点が空間上の一般に位置にあるとき、それらを結ぶ15本の線分が、赤あるいは青で彩色される。この時ある三角形の3辺は同じ色で彩色される」もシューアの結果の簡単な証明を与えるために用いることができる。

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