【１】ポリアの定理

　ポリアの定理の証明は，通常，ｎ→∞のときの原点にいる確率の漸近挙動を調べることによって行われます．２ｎステップのとき，原点にいる確率をｕ2n，原点への最初の復帰が２ｎ回目に起きるという確率をｆ2nとすると，求める再帰確率はΣｆ2nで表されます．

　ここで母関数を使った少し込み入った議論が必要になるのですが，母関数の方法の利点は，個々の数列ごとに工夫しなくても，一般項が求まることにあり，有限グラフ上の閉路で，途中で出発点に戻ることのない閉路の数と，何度戻ってもよい閉路の数との間の関係式を求めるという問題になります．

　結論だけをいうと，ｎ→∞のとき，

　　Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n

が成り立ちます．Σｕ2n＝∞のときにはΣｆ2n＝１，すなわち，ランダムウォークは再帰的，また，Σｕ2n＜∞のときにはΣｆ2n＜１で非再帰的となります．そこで，Σｕ2nの値を求めてみることにします．

　１次元酔歩の場合，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)　〜　（πｎ）^(-1/2)

　　Σｕ2n＝∞（再帰的）

２次元酔歩の場合，

　　ｕ2n＝１／４^(2n)（2nＣn）^2　　〜　（πｎ）^(-1)

　　Σｕ2n＝∞（再帰的）

　それに対して，３次元酔歩では

　　ｕ2n＝ｃｎ^(-3/2)　〜　（πｎ）^(-3/2)

　　Σｕ2n＜∞（非再帰的）

よって，３次元酔歩は非再帰的．同様にして，４次元以上の酔歩は

　　ｕ2n　〜　（πｎ）^(-d/2)

　　Σｕ2n＜∞（非再帰的）

より非再帰的であることが示されます．

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　以上をまとめると，

　　格子の次元　　（１，２）　　（３，４，５，６，・・・）

　　　酔歩　　　　　再帰的　　　　　　　非再帰的

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