【３】ラマヌジャンの定数

もうひとつの注目すべき事実は

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

整数との差ε＝７．５×１０^-13はわずか１兆分の１未満であり，見事である．これは決して偶然の一致ではありません．

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　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

は重さ０のモジュラー関数

j(z)=１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・

においてｑ→−１／ｘとしたものです．ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

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ｅｘｐ（π√１６３）は，１９６５年のエイプリル・フールのジョークとして，マーチン・ガードナーは整数だと主張し，さらに，冗談で１９１４年のラマヌジャンの論文に書かれてあるとしました．しかしながら，ゲルフォント・シュナイダーの定理より，ｅｘｐ（π√１６３）は超越数であって，整数にはならないことが証明されます．もしこれが整数になったら一大事ですが，整数との差はわずか１兆分の１未満であって，見事としかいいようがありません．それ以降，ｅｘｐ（π√１６３）はラマヌジャン定数という名前で呼ばれるようになったとのことです．

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