オイラーの素数式

ｘ^2＋ｘ＋４１＝０

はｘ＝０のとき素数４１，ｘ＝１で素数４３，ｘ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｘが０から３９までのどのｘをとってもこの式はすべて素数を与えます（オイラー，１７７２年）．

　４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１

ｘ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

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