【１】有限射影平面

　ｎ次有限射影平面では各直線にｎ＋１個の点を含み，各点を通ってｎ＋１本の直線が引けます．ある１点を通ってｎ＋１本の直線が引け，その各々の直線の上に，先の１点以外のｎ個の点がありますから，この射影平面における点の数は全部で

　　１＋ｎ（ｎ＋１）＝ｎ^2＋ｎ＋１

個，直線の数もｎ（ｎ＋１）＋１＝ｎ^2＋ｎ＋１で等しくなります．

　最も簡単な射影平面は，有限体Ｚ2上の２次元射影幾何であって，ファノ平面と呼ばれています．そして，７個の点ｐ1〜ｐ7を（１〜７）と略記することにして，例えば，７本の直線上の３点の組を（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の７組の体系は射影幾何の公理系を満たすことになります．７個の点と７個の直線をもつ有限射影平面を，点Ｐiと直線ｐj（ｊ＝０〜６）に対して

　　ｉ＋ｊ＝０，１，３　　（ｍｏｄ７）

のときに限って，点Ｐiが直線ｐj上にあると約束することもできます．

　１３個の点と１３個の直線をもつ有限射影平面は，たとえば，点Ｐiと直線ｐj（ｊ＝０〜１２）に対して

　　ｉ＋ｊ＝０，１，３，９　　（ｍｏｄ１３）

のときに限って，点Ｐiが直線ｐj上にあると約束すると，直線ｐj上の４点はｐ12（１，２，４，１０），ｐ11（２，３，５，１１），ｐ10（３，４，６，１２），ｐ9（４，５，７，０），ｐ8（５，６，８，１），ｐ7（６，７，９，２），ｐ6（７，８，１０，３），ｐ5（８，９，１１，４），ｐ4（９，１０，１２，５），ｐ3（１０，１１，０，６），ｐ2（１１，１２，１，７），ｐ1（１２，０，２，８），ｐ0（０，１，３，９）であることが示されます．

　射影幾何学の有名な定理：デザルグの定理やパップスの定理は有限射影平面でも成立します．なお，ｎ＝４ｋ＋１，４ｋ＋２の場合にｎ次の射影平面が存在すれば，

　　ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

となる整数が存在するということも証明されています．このことから（ｎは５，７，９にはなりうるが）ｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の場合，射影平面が存在しないことがわかります．

［補］ｎは任意ではなく，奇素数のベキでなければならない．なお，有限個の元と体の構造をもつ数体系が「有限体」である．代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．位数１１，１３の集合は体となるが，位数１２＝２^2×３，１４＝２×７のなす集合は決して体にはならない．

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【２】有限射影空間

　有限射影空間においては，各点を通ってｎ^2＋ｎ＋１本の直線が引け，その各々の上にｎ＋１個の点があるから，総計

　　１＋（ｎ＋１）（ｎ^2＋ｎ＋１）＝ｎ^3＋ｎ^2＋ｎ＋１

個の点がある．双対性によって平面の総数もこれと同じになる．

　これらｎ^3＋ｎ^2＋ｎ＋１枚の平面の各々の上に，ｎ^2＋ｎ＋１本の直線があるが，各直線を通ってｎ＋１枚の平面が引けるから，直線をすべて勘定すると，ｎ＋１重に数えられるので

　　（ｎ^3＋ｎ^2＋ｎ＋１）（ｎ^2＋ｎ＋１）／（ｎ＋１）＝（ｎ^2＋１）（ｎ^2＋ｎ＋１）ａ

　ｎ＝３のとき，各直線上には４個の点が載っているが，全部で４０個の点と４０枚の平面，１３０本の直線が含まれている．

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