■有限体とガロア体(その60)
【2】8元ガロア体
乗算は(0,0、0)を0要素、(1,0、0)を1要素と定めると
右方向への桁移動によって、
g^1=(0,1,0)
g^2=(0,0,1)
さらに右側で消えた各1に対して、2を法とし2か所の左側の位置に各々の1を加えると
g^3=(1,1,0)
g^4=(0,1,1)
g^5=(1,1,1)
g^6=(1,0,1)
g^7=(1,0,0)=g^0
g^8=(0,1,0)=g^1
などとすることができる。
2進数の誤り訂正符号は8元ガロア体の重要な応用である。
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【5】2^m元ガロア体の原始多項式
m=4の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、
m=2の場合、π(x)=1+x+x^2
m=3の場合、π(x)=1+x+x^3
m=4の場合、π(x)=1+x+x^4
m=5の場合、π(x)=1+x^2+x^5
m=6の場合、π(x)=1+x+x^6
を用いることによって実現される。
1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される
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m=3の場合、π(x)=1+x+x^3
g^1=(0,1,0)=x
g^2=(0,0,1)=x^2
さらに右側で消えた各1に対して、2を法とし2か所の左側の位置に各々の1を加えると
g^3=(1,1,0)=1+x=x^3
g^4=(0,1,1)=x+x^2=x^4
g^5=(1,1,1)=1+x+x^2=x^5
g^6=(1,0,1)=1+x^2=x^6
g^7=(1,0,0)=g^0=1
g^8=(0,1,0)=g^1=x
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つまリxをかけていくと、7個の点は回っていき、7回で元に戻ります。
また、どの直線も3個の点と結ばれる7つの直線
(x^0,x^1,x^3)=(1,x,1+x)
(x^1,x^2,x^4)
(x^2,x^3,x^5)
(x^3,x^4,x^6)
(x^4,x^5,x^0)
(x^5,x^6,x^1)
(x^6,x^0,x^2)
も回っていき、7回で元に戻ります。
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魔円陣の作り方は「どの2直線も1点だけで交わる」ことを利用します。
(x^0,x^1,x^3)=(1,x,1+x)の指数を
0→1→3→0→1→3→・・・
と並べ、この差を求めます。1→2→4→1→2→4→…
これが
[1]m=3,L=7:{1,2,4}
になっているというわけです。
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[Q]目盛りのついていない長さLの環に目盛りをm個刻んで,長さ1からLまですべてはかれるようにするにはどうすればいいか?
具体例をといくつかあげておきたい.
[1]m=3,L=7:{1,2,4}
[2]m=4,L=13:{1,4,6,2},{1,7,2,3}
[3]m=5,L=21:{1,3,10,2,5}
[4]m=6,L=31:{1,2,5,4,6,13}
[5]m=7:存在しない
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(その59)では
(x^0,x^1,x^3)=(1,x,1+x)を基準としましたが、x^2=y
(y^0,y^1,y3)=(x^0,x^2,x^6)=(1,x^2,1+x^2)を基準とすると、
0→1→3→0→1→3→・・・
と並べ、この差を求めます。1→2→4→1→2→4→1→…
これも
[1]m=3,L=7:{1,2,4}
と同じになっているというわけです。
x^3=yとして
(1,x^3,1+x^3=x)=(x^0,x^3,x^1)=(y^0,y^1、y^5)を基準とすると、
0→1→5→0→1→5→・・・
と並べ、この差を求めます。1→4→2→1→4→2→…
これも
[1]m=3,L=7:{1,2,4}
と同じになっているというわけです。
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