【２】素ベキ位数

GF(p^m)から０元を除いた有限体は、情報をもつ巡回群を形成するから、原始元αとp^m-1個のベキ

α、α^2、α^3、・・・、α^p^m-1

によって表現することもできる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】１６元ガロア体の生成

ここでは、既約多項式π(x)=1+x+x^4と原始元α=(0,1,0,0)=xを利用して位数16の有限体を生成したい。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1+x+x^4を法とする剰余簡約では、1の要素αから始め、次にα=xをかけるので、1が右から消えるとき、一番左側の2つの位置に2を法として1を加えることに対応している

すなわち、

(0,0,0,0)=0

(1,0,0,0)=1

(0,1,0,0)=x

(0,0,1,0)=x^2

(0,0,0,1)=x^3

(1,1,0,0)=1+x=x^4

(0,1,1,0)=x+x^2=x^5

(0,0,1,1)=x^2+x^3=x^6

(1,1,0,1)=1+x+x^3=x^7

(1,0,1,0)=1+x^2=x^8

(0,1,0,1)=x+x^3=x^9

(1,1,1,0)=1+x+x^2=x^10

(0,1,1,1)=x+x^2+x^3=x^11

(1,1,1,1)=1+x+x^2+x3=x^12

(1,0,1,1)=1+x^2+x^3=x^13

(1,0,0,1)=1+x^3=x^14

(1,0,0,0)=1=x^15

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1+x^3+x^4を法とする剰余簡約では、1の要素αから始め、次にα=xをかけるので、1が右から消えるとき、一番左側の2つの位置に2を法として1を加えることに対応している

すなわち、

(0,0,0,0)=0

(1,0,0,0)=1

(0,1,0,0)=x

(0,0,1,0)=x^2

(0,0,0,1)=x^3

(1,0,0,1)=1+x^3=x^4

(1,1,0,1)=1+x+x^3=x^5

(1,1,1,1)=1+x+x^2+x^3=x^6

(1,1,1,0)=1+x+x^2=x^7

(0,1,1,1)=x+x^2+x^3=x^8

(1,0,1,0)=1+x^2=x^9

(0,1,0,1)=x+x^3=x^10

(1,0,1,1)=1+x^2+x^3=x^11

(1,1,0,0)=1+x=x^12

(0,1,1,0)=x+x^2=x^13

(0,0,1,1)=x^2+x^3=x^14

(1,0,0,0)=1=x^15

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝