■有限体とガロア体(その39)

 pが素数で,p^m個の元をもつ有限体は,コンピュータや通信,暗号化などに対してとくに重要である.

 p=3、m=3→GF(3^3)は27個の要素

  000,100,200、010,020,110,001,・・・,222

をもつ(0〜26までの3進数列で,左が最下位ビットとなるように書かれている).

 加算と減算はビット毎に3を法として定義される(繰り上げがないので2進の加算とは一致しない).

  110+111=221

 乗算は,

[1]各ベクトルはm−1次までの3^3個の多項式と対応する.

  110→x^0+x^1+0=1+x

  010→0+x^1+0=x

[2]与えられた次数mのGF(3)上の既約多項式,たとえば,p=3,m=3の場合は

  π(x)=1+2x+x^3

を法とする多項式の乗算の余りとして定義される.

[3]π(x)=1+2x+x^3の場合は,x^3を2+xで置き換えることと同値である.

x^3=-1-2x=2+x  (mod3)

110・101=(1+x)(1+x^2)

=1+x+x^2+x^3

=1+x+x^2+(2+x),係数は3を法として1+2=0より

=2x+x^2=021

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(x+1)・(x^2+2x+1)=x^3+3x^2+3x+1=x^3+1

(x+1)・(x^2+2x+2)=x^3+3x^2+4x+2=x^3+x+2

(x+2)・(x^2+x+1)=x^3+3x^2+3x+2=x^3+2

(x+2)・(x^2+x+2)=x^3+3x^2+4x+4=x^3+x+1

x^3=2x

x^4=x(2+x)=2x+x^2

x^5=x(2x+x^2)=2x^2+x^3=2+x+2x^2

x^6=x(2+x+2x^2)=2x+x^2+2x^3=1+x+x^2

x^7=x(1+x+x^2)=2+2x+x^2

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

x^13=2

x^14=2x

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F3上の射影平面F27では

xをかけていくと13個の点は13回で元に戻る。

xをかけていくと13本の直線も13回で元に戻る。

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