ｐが素数で，ｐ^m個の元をもつ有限体は，コンピュータや通信，暗号化などに対してとくに重要である．

　ｐ＝2、ｍ＝3→ＧＦ（２^3）は８個の要素

　　０００，１００，０１０，１１０，００１，・・・，１１１

をもつ（０〜７までの２進数列で，左が最下位ビットとなるように書かれている）．

　加算と減算はビット毎に２を法として定義される（繰り上げがないので２進の加算とは一致しない）．

　　１１０＋１１１＝００１

　乗算は，

［１］各ベクトルはｍ−１次までの２^3個の多項式と対応する．

　　１１０→ｘ^0＋ｘ^1＋０＝１＋ｘ

　　０１０→０＋ｘ^1＋０＝ｘ

［２］与えられた次数ｍのＧＦ（２）上の既約多項式，たとえば，ｐ＝２，ｍ＝３の場合は

　　π（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ^3

を法とする多項式の乗算の余りとして定義される．

［３］π（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ^3の場合は，ｘ^3を１＋ｘで置き換えることと同値である．

ｘ^3＝-１-ｘ＝１＋ｘ　　(mod2)

１１０・１０１＝（１＋ｘ）（１＋ｘ^2）

＝１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3

＝１＋ｘ＋ｘ^2＋（１＋ｘ），係数は２を法として１＋１＝０より

＝ｘ^2＝００１

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ｘ・ｘ^2＝ｘ^3＝１＋ｘ

ｘ・（ｘ^2+1）＝ｘ^3+ｘ＝１

ｘ・（ｘ^2+ｘ）＝ｘ^3+ｘ^2＝１＋ｘ＋ｘ^2

ｘ・（ｘ^2+ｘ＋１）＝ｘ^3+ｘ^2＋ｘ＝１＋ｘ^2

（ｘ＋１）・ｘ^2＝ｘ^3＋ｘ^2＝１＋ｘ＋ｘ^2

（ｘ＋１）・（ｘ^2＋１）＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝ｘ^2

（ｘ＋１）・（ｘ^2＋ｘ）＝ｘ^3＋２ｘ^2＋ｘ＝１

（ｘ＋１）・（ｘ^2＋ｘ＋１）＝ｘ^3＋２ｘ^2＋２ｘ＋１＝ｘ

ｘ^3＝1+ｘ

ｘ^4＝ｘ（1+ｘ）＝ｘ＋ｘ^2

ｘ^5＝ｘ（ｘ+ｘ^2）＝ｘ＾2+ｘ^3=1+ｘ+ｘ^2

ｘ^6＝ｘ（1+ｘ+ｘ^2）＝1+ｘ^2

ｘ^7＝ｘ（１+ｘ^2)=1

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