自然数の平方根の連分数展開には周期性と対称性が認められる。たとえば、a=13の場合

√13=[3:1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,・・・]

1,1,1,1,6の順に繰り返される

1,1,1,1は左右対称である。

6は初項3の2倍である

この連分数を6の手前までで打ち切ると

18/5＝[3:1,1,1,1]が得られる.

しかし、x=18,y=5はx^2-13y^2=1の解ではなくx^2-13y^2=-1の解である。

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xn+yn√13＝(18+5√13)^nとおくと

xn-yn√13＝(18-5√13)^nとなる。

このとき、xn＾2-19yn＾2＝(-1)^nであるから、(x2,y2)はx^2-13y^2=1の解である。

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