有限ゼータ関数は、Nの正の約数ｎに関するｎの逆数の総和として定義されます。

たとえば、

ζ2(s)=1/1^s+1/2^s

ζ3(s)=1/1^s+1/3^s

ζ9(s)=1/1^s+1/3^s+1/3^2s

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】零点の分布

ζ3(s)=1/1^s+1/3^s=0

3^s=-1

3^s=exp(slog3)=-1

オイラーの公式より、

slog3=±πi,±3πi,±5・・・

s=±πi/log3,±3πi/log3,±5πi/log3,・・・純虚数（虚軸上に並ぶ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ζ6(s)=ζ2(s)ζ3(s)=0

零点はζ2(s)=0の零点とζ3(s)の零点を合わせたもの・・・純虚数（虚軸上に並ぶ)

ζ9(s)=1/1^s+1/3^s+1/3^2s=0

両辺に(1/1^s-1/3^s)をかけると1/1^s-1/27^s=0

零点は1/27^s=1（ただし3^s≠1)・・・純虚数（虚軸上に並ぶ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

無限ゼータ関数の零点分布が虚軸に平行なs=1/2上に並ぶというのが有名なリーマン予想になります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

リーマンは

s=1/2±(14.13…)i

s=1/2±(21.02…)i

s=1/2±(25.01…)i

が虚の零点であることを発見し、無限ゼータ関数の虚の零点の実部はすべて1/2であるという予想を述べました。

その個数は

N(T)=TlogT/2π-(1+log2π)/2π・T+O(logT)

より虚の零点が無限個あることが示されています。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝