【１】素因数の累乗の評価

［１］ｎ！を素因数分解したとき，ある素数ｐがｐ^rの形で含まれていたとすると，ガウス記号［・］を用いて

　　ｒ＝［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・＋［ｎ／ｐ^s］＋・・・

n=20,p=2に対して、具体的に計算してみると

ｒ＝［20／2］＋［20／2^2］＋［20／2^3］＋［20／2^4］＋・・・＋［ｎ／ｐ^s］＋・・・=10+5+2+1=18

20!の素因数分解の素数2に関する部分が2^18であることがわかります。

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［２］ｃn＝2nＣnを＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

を素因数分解すると，√２ｎより大きい素数は現れてもｐ^1の形である．それ以下の素数がｐ^kの形で現れれば，ｐ^k≦２ｎである．

（証明）この式に対応する不等式

　　［２ｎ／ｐ^s］−２［ｎ／ｐ^s］

は０か１であることよりＱＥＤ．ｎ／ｐ^sの小数部分が０．５未満ならば０，０．５以上ならば１であることを具体的に確かめてみるとよい．

　すなわち，素因数分解するとｎより大きく２ｎ以下の素数があれば，それらはすべて１乗の形の積として現れます．もしもその間に素数がなければ，ｎ以下の素数の積で表されるはずです（実はさらに２ｎ／３以下の素数の積なります．２ｎ／３より大きくｎ以下の素数は分子に２回，分母に２回現れて約分される）．

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素数ｐは，√２ｎ＜ｐ＜２ｎを満たすとする。

このとき2ｎをｐで割った商が奇数なら2nＣnはｐを1個だけ素因数としてもつ。

偶数なら、ｐを素因数としてもたない。

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