ウィルソンの定理

ｐを素数とするとき、

(p-1)!=-1 (modp)

例: p=5に対して24＝-1　　(mod5)

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p=7,a=3とします。

1,2,3,4,5,6

に３をかけて、mod7を計算すると

3,6,9,12,15,18＝3,6,2,1,4　　(mod7)

すなわち、1,2,3,4,5,6の並び替えになっている。

このことは3・5＝1すなわち。7を法として3と５が逆数の関係にあることを意味している。

7を法として、1と1、2と４、3と5、6と6が逆数の関係にある。

6!=1・6・(2・4)・(3/5)

=1・(-1)・1・1＝-1　　　(mod7)

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2・3・4・・・(p-3)・(p-2)

の各因数は他の因数のどこかにそれ自身の逆数をもっている。

たとえば、p=7については、7を法として、1と1、2と４、3と5、6と6が逆数の関係にある。

一般に(p-3)/2対のすべての積はｐを法として1に合同であるから、

2・3・4・・・(p-3)・(p-2)＝1 (modp)

(p-1)!=p-1=-1 (modp)

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別証

フェルマーの定理より

　　x^(p-1)-1=0 (modp)

がx=1,2,・・・、p-1に対して成り立つとすると、

x^(p-1)-1=(x-1)(x-2)・・・(x-p+1) (modp)

x=pとおくと

ｐ^(p-1)-1=(p-1)(px-2)・・・(p-p+1)=(p-1)! (modp)

ｐ^(p-1)=0 (modp)より

(p-1)!=-1 (modp)

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