オイラーの定理

Nを2以上の自然数、ｍを1以上Ｎ以下の自然数で、Ｎと互いに素なものの個数とするとき、

a^m=1 (modN)

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N=15とします。

mは1,2,4,7,8,11,13,14の8個です。

1個（ここでは７）を選んで、それぞれに掛け算して、mod15を計算すると

7・1＝7,7・2＝14，7・4＝13,7・7＝4，7・8＝11，7・11＝2，7・13＝1,7・14＝8　　(mod15)

すなわち、1,2,4,7,8,11,13,14の並び替えになっている。

このことは任意のＮとＮと互いに素な任意の整数aについて成り立つ。

7・1＝7,7・2＝14，7・4＝13,7・7＝4，7・8＝11，7・11＝2，7・13＝1,7・14＝8　　(mod15)

の辺々掛け算すると

7^8・1・2・4・7・8・11・13・14=・1・2・4・7・8・11・13・14 　　(mod15)

1・2・4・7・8・11・13・14は15と互いに疎なので、割り算ができて

7^8=1 　　(mod15)

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[参]小島寛之「素数ほどステキな数はない」技術評論社

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