まず最初に三角数，四角数，五角数，・・・，ｍ角数について説明しますが，『１から始まる等差数列の最初のｎ項を足すと，いろいろな多角数が得られる．

　　１＋１＋１＋１＋１＋・・・からは自然数が得られる：１，２，３，４，５，・・・

　　１＋２＋３＋４＋５＋・・・からは三角数が得られる：１，３，６，１０，１５，・・・

　　１＋３＋５＋７＋１１＋・・・からは四角数が得られる：１，４，９，１６，２５，・・・

　　１＋４＋７＋１０＋１３＋・・・からは五角数が得られる：１，５，１２，２２，３５，・・・

　　１＋５＋９＋１３＋１７＋・・・からは六角数が得られる：１，６，１５，２８，４５，・・・』

　一般に，ｍ角数の第ｎ項は，多角形の辺数ｍは公差よりも２だけ大きいことから，初項１，公差ｍ−２の等差数列の和：

　　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

で与えられることがわかります．

　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます．すなわち，三角数△nとはｎ（ｎ＋１）／２，四角数□nとはｎ^2の形の自然数，すなわち平方数です．また，五角数☆nはｎ（３ｎ−１）／２で表されます．

三角数１／２・ｎ・｛ｎ＋１｝

四角数１／２・ｎ・｛２ｎ＋０｝＝ｎ^2

五角数１／２・ｎ・｛３ｎ−１｝

六角数１／２・ｎ・｛４ｎ−２｝＝ｎ（２ｎ−１）

七角数１／２・ｎ・｛５ｎ−３｝

八角数１／２・ｎ・｛６ｎ−４｝＝ｎ（３ｎ−２）

　多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので，ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから，代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう．そうすると，ｎ−１番目の三角数をΔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２とすると，多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから

　　ｎ＋（ｍ−２）Δn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

とも考えることができるのです．

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五角数はk+3Δk-1あるいはk^2+Δk-1

六角数はk+4Δk-1あるいはΔk+3Δk-1

一般にｐ角数はｋ+（ｐ-2）Δk-1で

どの六角数n(2n-1)も三角数である→1/2・(2n)(2n-1)

どの五角数n(3n-1)/2も三角数の1/3である。→1/3・1/2・(3n)(3n-1)

七角数・八角数は三角数ではないが、

ｋ+（ｐ-2）Δk-1で表すことができる。

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