【７】ロジャース・ラマヌジャンの分割恒等式の母関数

　母関数は一見手も足も出せそうもない関数をひとまとめにしてうまく処理するための常套手段のひとつです．ここで，母関数についてまとめておきましょう．

(1)因子が相異なる分割の母関数はΠ(1+x^n)

(2)同じ因子が高々ｄ回しか現れない整数ｎの分割の個数の母関数は

　　Σs(n)x^n=Π(1+x^n+x^2+･･･+x^dn)=Π(1-x^(d+1)n)/(1-x^n)

(3)また，同じ因子が何回でも繰り返し現れる分割ではｄ→∞とすればよいから，母関数はΠ1/(1-x^n)

　また，分割に含まれる因子の個数情報を母関数から引き出したくなる場合もあります．そのようなときには２変数母関数のほうが便利です．それぞれ

(1)Π(1+zq^n)

(2)Π(1-z^(d+1)q^(d+1)n)/(1-zq^n)

(3)Π1/(1-zq^n)

となります．

　ロジャーズ・ラマヌジャンの第１恒等式の母関数は

　　Σq(n)x^n=Π1/(1-x^(5n-4))(1-x^(5n-1)

第２恒等式では

　　Σq(n)x^n=Π1/(1-x^(5n-3))(1-x^(5n-2)

となるのですが，ｑ２項係数とヤコビの３重積公式を用いて，ロジャーズ・ラマヌジャンの恒等式を証明することができます．

　ロジャース・ラマヌジャン恒等式にはやさしい証明は存在せず，ｑ二項係数とヤコビの三重積公式を使って証明されるのです．

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