【６】オイラーの五角数定理

　ある恒等式が分割の立場から何を意味するかという逆問題を考えてみましょう．

　　1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+･･･

　　 =(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)･･･

において，1+x+x^2+x^3+x^4+･･･の指数は整数そのものの母関数と考えられます．一方，(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)･･･は整数を繰り返しなしで２のベキに分解しています．したがって，各整数は２のベキの総和として一意に表せることを意味しているのです．

　　ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋２^2ｋ3＋・・・

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　ところで，オイラーの分割関数の分母

　　g(x)=Π(1-x^n)

に関してオイラーが発見した定理をもう一つ紹介しておきましょう．

　分割数p(n)の母関数の逆数

　　Π(1-x^n)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)･･･

を考えます．これを展開すると，級数中の係数がすべて０か±１の級数

　　Π(1-x^n)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+x^26-x^35-x^40+x^51+･･･

　　　　　　 =Σ(x^(6m^2-m)-x^(6m^2+5m+1))

が得られますが，これが何を意味しているかを発見できるでしょうか？

　一見したところ，何を意味しているのかすら明らかではないのですが，この級数は，ｍが負になる項も含んだ

　　Π(1-x^n)=Σ(-1)^mx^(m(3m-1)/2))

の形にまとめられ，ここで指数の引数がｍ（３ｍ−１）／２，すなわち，１，５，１２，２２，３５，５１，・・・という数列がピタゴラスの五角数であることから，五角数定理と呼ばれています．

　この恒等式は，級数中のｘ^nの係数がすべて０か±１なのですが，組合せ論の解釈から，偶数個の異なる整数への分割数と奇数個の異なる整数への分割数の差

　　Ｐeven(n)-Ｐodd(n)=(-1)^m　　　 ｎ＝ｍ（３ｍ＋１）／２

　　Ｐeven(n)-Ｐodd(n)=0　　　　　　その他の場合

を表すものと考えられます．

　たとえば，ｎ＝８の場合，偶数個の異なる整数への分割は7+1=6+2=5+3の３通り，奇数個の異なる整数への分割は8=5+2+1=4+3+1の３通りですから，その差は０となります．ｎ＝５の場合，偶数個の異なる整数への分割は4+1=3+2の２通り，奇数個の異なる整数への分割は5の１通りですから，その差は１となります．

　個数の差があるのはｎ＝ｍ（３ｍ＋１）／２またはｎ＝ｍ（３ｍ−１）／２，すなわち，

　　ｎ＝１，２，５，７，１２，１５，２２，２６，・・・

の場合で，このｎ＝ｍ（３ｍ±１）／２を５角数といいます．ｎが５角数の場合に限ってＰeven(n)とＰodd(n)が異なるのですが，五角数は分割問題でも役立つというわけです．

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　もう一度，オイラーの５角数定理についてまとめておくと，ある種の数に対する補正項をe(n)とおいて

　　＃｛偶数個の異なる整数への分割｝＝＃｛奇数個の異なる整数への分割｝＋e(n)

　ここで，e(n)=(-1)^j n=j(3j±1)/2

　　　　　e(n)=0

　オイラーの５角数定理を用いると，分割関数に対する再帰関係式

　　Σp(n-j(3j±1)/2)(-1)^j=0

　　p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+･･･

が得られます．これより

　　p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,

　　p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･

を効率的に計算することができます．

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