【４】オイラーの分割関数

　たとえば，正の整数ｎに対して，

　　ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3　　　（ｋ1≧０，ｋ2≧０，ｋ3≧０）

となる解（ｋ1，ｋ2，ｋ3）の個数をａnとします．ｎ＝５の場合，

　　1+1+1+1+1　→　（５，０，０）

　　1+1+1+2　　→　（３，１，０）

　　1+1+3　　　→　（２，０，１）

　　1+2+2　　　→　（１，２，０）

　　2+3　　　　→　（０，１，１）

ですから，ａ5＝５となります．

　　ａ0＝１，ａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝３，ａ4＝４，ａ5＝５，・・・

　このとき，母関数は

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n＝Σｘ^(k1+2k2+3k3)＝Σｘ^k1Σｘ^2k2Σｘ^3k3

　＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）・１／（１−ｘ^3）

となります．

　（１−ｘ）（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）Σａnｘ^n＝１

ですから，各項の係数を比較すると漸化式

　　ａn＝ａn-1＋ａn-2−ａn-4−ａn-5＋ａn-6

を得ることができます．

　　ａ6＝７，ａ7＝８，ａ8＝１０，ａ9＝１２，ａ10＝１４，ａ11＝１６，・・・

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　この問題を一般化して

　　ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3＋・・・　　　（ｋ1≧０，ｋ2≧０，ｋ3≧０，・・・）の個数ｐ（ｎ）を考えます．ｎ＝５の場合，ａ5に

　　1+4，5

が加わり，p(5)=7となります．

　「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．

　たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．（分割を図形的に表す方法にヤング図形がある．ヤング図形は非増加な非負整数列を表現する印象的な方法である．）

　　p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,

　　p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･

ここで，p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，定義が簡単そうにみえるにも関わらず，易しい式で表すことはできません．

　ところで，分割数は以下の公式によって代数的に定義することができます．

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=(1+x+x^2+･･･)(1+x^2+x^4+･･･)(1+x^3+x^6+･･･)(1+x^4+x^8+･･･)･･･

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

すなわち，f(x)は分割関数p(n)の母関数で，p(n)はｘ^nの係数になっています．

　ｘ^k1を第１因子(1+x+x^2+･･･)の一般項，ｘ^2k2を第２因子(1+x^2+x^4+･･･)の一般項，ｘ^3k3を第３因子(1+x^3+x^6+･･･)の一般項，・・・とすると，

　　ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3＋・・・

となって，ｘ^nの項が整数ｎの分割に対応することになるのですが，オイラーはこのようにしてp(n)の母関数

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

を得たというわけです．

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