【１】ガウス

１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２^2^m＋１が素数のとき（あるいは互いに異なるフェルマー素数の積のとき）に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

　すなわち，正素数ｐ角形はｐ＝２^d＋１，ｄ＝２^eという形の素数であるとき，コンパスと定規で作図することができ，ｐ＝３，５，１７，２５７，６５５３７角形が作図可能であることを見抜いたのです．したがって，正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積

　　ｎ＝２^kΠＦm

でなければなりません．

［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０　→　作図可能

［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５　→　作図不可能

となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大

　　３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５

角形まであります．

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【２】ガウスを越えて

正７角形，正９角形はそれぞれ３次方程式：ｘ^3＋ｘ^2−２ｘ−１＝０，ｘ^3−３ｘ＋１＝０に帰着します．したがって，正７角形，正９角形の作図や倍積問題のように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けません．コンパスと定規には２次を超える能力はないのです．

　一方，折り紙の折り目による包絡線として円錐曲線を表すことができますから，折り紙は２次方程式を解く力をもっていることがわかります．近年になって折り紙を使っても角の３等分が可能であることが示されました．また，折り紙を使えば倍積問題が解けます．つまり，折り紙は３次方程式・４次方程式を解く力をもっているというわけです．４次を超える能力はありませんが・・・．

　折り紙による作図の場合は

　　ｎ＝２^a３^b＋１

に限り，作図可能であることが示されています．

［１］ ｎ＝７，９，１３，１９　→　作図可能

７＝２・３＋１

９＝２・２・２＋１

　　１３＝２・２・３＋１

　　１９＝２・３・３＋１

［２］ｎ＝１１　→　作図不可能

　すなわち，コンパスと定規のみを使うという制限下では，正三角形・正方形・正五角形・正六角形の作図には成功するものの，正七角形と正九角形では躓いてしまう．それに対して，折り紙では正十一角形は困難なものの，正七角形と正九角形の作図はあっさり成功するのです．さらに，定規とコンパスでは正７，９，１１，１３，１４，・・・角形を構成できませんが，折り紙では２^u３^v＋１という形の素数になるとき構成することができますから，構成できない最小の正ｎ角形はｎ＝１１であり，以下２２，２３，２５，２９，・・・と続き，より多くの正多角形を構成することができます．ｎ≦２０の範囲では，正１１角形を除いて正確に作図する（または折る）ことができる．

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