【１】ルジャンドル数列のフーリエ特性

ルジャンドル数列の離散フーリエ変換は、

　Bm=Σbnexp(-2πinm/p)

によって与えられる。

ｍ＝０（modp)のとき、Ｂ0=0

ｍ≠０（modp)のとき、Ｂm=bmＢ1(定数倍)

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【２】ガウス和

定数Ｂ1を決定するために、

Ｓ(p)=Σ（bk＋１）exp(-2πik/p)

を考える。

ｋがｐを法とする平方剰余ならば（bk＋１）＝2

ｋがｐを法とする平方非剰余ならば（bk＋１）＝０

したがって、ｋ＝ｎ^2 (modp)である項だけがＳ(p)に寄与する。

Ｓ(p)=Σ（bk＋１）exp(-2πik/p)=Σexp(-2πin^2/p)

p=1　　(mod4）のとき→Ｓ^2(p)=|Ｓ(p)|^2=p

p=3　　(mod4）のとき→Ｓ^2(p)=-|Ｓ(p)|^2=-p

Ｓ(pq)=(-1)^(p-1)(q-1)/4・Ｓ(p)Ｓ(q)

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Ｓ(p)、より一般には任意のｎに対するＳ(n)はガウス和と呼ばれていて、mod4のとき、

n=0→Ｓ(n)=(1+i)√n

n=1→Ｓ(n)=√n

n=2→Ｓ(n)=0

n=3→Ｓ(n)=-√n

が示されている。

その結果、bm=(m/p)の離散フーリエ変換は

p=1　　(mod4）のとき→Ｂm=bm√ｐ

p=3　　(mod4）のとき→Ｂm=-bm√ｐ

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