ｐ=7として、ルジャンドル数列

ｂn=(n/p)、n=0〜

の面白い性質を見てみよう。

[1]{bn}=0,1,1,-1,1-1,-1:0,・・・

のように、周期7で繰り返す。平均は0である。

[2]平方剰余で間引くと、同じものが再生される

{bna}=(an/p)=(a/p)(n/p)

(a/p)=1→{bna}=(an/p)=(n/p)={bn}

(a/p)=-1→{bna}=(an/p)=-(n/p)={-bn}

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p=7,b=6に対しては解は存在しない。

より一般に

p-1がｐの平方剰余のとき、→{bna}=(an/p)=(n/p)={bn}

p-1がｐの平方非剰余のとき、→{bna}=(an/p)=-(n/p)={-bn}

たとえば、

p=3　　(mod4）のとき、p-1は平方非剰余

p=1　　(mod4）のとき、p-1は平方剰余

{bn}=(n/p)=n^{(p-1)/2} (modp)

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【１】ルジャンドル数列のフーリエ特性

ルジャンドル数列の離散フーリエ変換は、

　Bm=Σbnexp(-2πinm/p)

によって与えられる。

ｍ＝０（modp)のとき、Ｂ0=0

ｍ≠０（modp)のとき、Ｂm=bmＢ1(定数倍)

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【２】ガウス和

定数Ｂ1を決定するために、

Ｓ(p)=Σ（bk＋１）exp(-2πik/p)

を考える。

ｋがｐを法とする平方剰余ならば（bk＋１）＝2

ｋがｐを法とする平方非剰余ならば（bk＋１）＝０

したがって、ｋ＝ｎ^2 (modp)である項だけがＳ(p)に寄与する。

Ｓ(p)=Σ（bk＋１）exp(-2πik/p)=Σexp(-2πin^2/p)

p=1　　(mod4）のとき→Ｓ^2(p)=|Ｓ(p)|^2=p

p=3　　(mod4）のとき→Ｓ^2(p)=-|Ｓ(p)|^2=-p

Ｓ(pq)=(-1)^(p-1)(q-1)/4・Ｓ(p)Ｓ(q)

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