【補２】卵形線

卵形線となるための条件は，曲率の符号が一定であることである．

x=a・cos((n-1)t) + b・cos(t)

y=a・sin((n-1)t) + b・sin(t)

において，K=b /a, a=1として，x’y”-x”y’を計算すると

x’y”-x”y’＝K^2+n(n-1)K cos(n-2)t +(n-1)^3

したがって，符号が一定であるためには

K^2-n(n-1)K+(n-1)^3=(K- n(n-1)/2)^2-(n-1)^2(n-2)^2/4>0

K> n(n-1)/2+(n-1)(n-2)/2=(n-1)^2

さらに，ローターが退化しないための条件(K>n-1)が加わると

n=3のとき，2n=4のとき，3n=5のとき，4n=6のとき，5

一方，その逆回転版

x=a・cos((n-1)t) + b・cos(-t)

y=a・sin((n-1)t) + b・sin(-t)

においても，

ｘ’y"-ｘ"ｙ’=-K^2-K(n-1)(n-2)Kcos(n-2)t+(n-1)^3

したがって，符号が一定であるためには

K^2-(n-1)(n-2)K-(n-1)^3=(K-(n-1)(n-2)/2)^2-n^2(n-1)^2/4>0

K> (n-1)(n-2)/2+n(n-1)/2=(n-1)^2

さらに，ローターが退化しないための条件(K>n-1)が加わると

n=3のとき，2n=4のとき，3n=5のとき，4n=6のとき，5

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