【３-a】直線族の包絡線

ロータリーエンジンのローター曲線はペリトロコイド曲線に内接し，ペリトロコイド曲線を（ｎ−２）公転について，公転とは逆方向に１回自転させるというステップにより求めることができる．このことより，あらかじめ与えられた正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させれば，正ｎ角形に内接しながら回転することができる円以外の凸閉曲線が得られるのではないかという発想が浮かぶ．

そこでまず，原点を中心とする半径ａの円周上を等速で公転する点Ｐがあり，点Ｐを中心として，そこから距離Ｒにある直線を等速で自転させることを考える．その際，

[1] 点Ｐを反時計回りに公転させながら，直線を時計回りに自転させる

[2]（ｎ−２）公転について１回自転させる

ことによって得られる直線族を求めてみる．→別解のほうがスマート

初期条件において，ｘ軸上にある点Ｐが

(acos(n-2)θ, asin(n-2)θ)

に移動したとき，ｘ軸に平行な線分の傾きは

tan(-θ)

となる．この直線の方程式を

y=mx+c, m=-tanθ

とおくと，点Ｐから直線までの距離はＲであるから

asin(n-2)θ-ｍacos(n-2)θ-c=R(1+m^2)^1/2

が成り立つ．

こうして，直線族の方程式は

y=(-tanθ)ｘ＋asin(n-2)θ＋atanθcos(n-2)θ-Ｒ(1+tan^2θ）^1/2

より

f(x,y)=xsinθ＋ycosθ−asin(n-1)θ+R=０・・・(1)

と表される．

∂f/∂θ=xcosθ-ysinθ-(n-1)acos(n-1)θ＝０・・・(2)

ここで，

(1)×cosθ-(2)×sinθ

=y-acosθsin(n-1)θ+Rcosθ＋(n-1)asinθcos(n-1)θ=０

(1)×sinθ+(2)×cosθ

=x-asinθsin(n-1)θ＋Rsinθ-(n-1)acosθcos(n-1)θ=０

より，

x=asinθsin(n-1)θ+(n-1)acosθcos(n-1)θ-Rsinθ

y=acosθsin(n-1)θ-(n-1)asinθcos(n-1)θ-Rcosθ

係数を整数にするために２倍して整理すると，包絡線の方程式は媒介変数表示の形で，

x=(n-2)acos(nθ)+nacos(n-2)θ-2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ-2Rcosθ

と求められる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

別解

ｘ軸に平行な直線(x=t,y=-R)を（ｎ−２）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを逆方向にとると，

[Ｘ]=[cosθ, sinθ][ｘ]+[acos(n-2)θ]

[Ｙ]=[-sinθ, cosθ][ｙ]＋[asin(n-2)θ]

すなわち，その運動族は

X=tcosθ-Rsinθ+acos{(n-2)θ}

Y=-tsinθ-Rcosθ+asin{(n-2)θ}

で表される．

その包絡線を得るために

(∂Y/∂t)(∂X/∂θ)-(∂X/∂t)(∂Y/∂θ)=0

を計算すると

t=(n-2)acos(n-1)θ

係数を整数にするために２倍して整理すると，包絡線の方程式は媒介変数表示の形で，

x=(n-2)acos(nθ)+nacos(n-2)θ-2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ-2Rcosθ

と求められる．これは，ｎ＝４のとき，デルトイド

x=2acos(4θ)+4acos(2θ)

y=-2asin(4θ)+4asin(2θ)

の平行曲線，ｎ＝３のとき，アステロイド

x=acos(3θ)+3acos(θ)

y=-asin(3θ)+3asin(θ)

の平行曲線になっている．→【補４】

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝